Вернуться на страницу <Методические разработки>
Содержание

Настоящее пособие отражает опыт работы сотрудников МГДТДиЮ, МИРЭА, школ и межшкольных учебных комбинатов по внедрению средств НИТ в непрерывный образовательный процесс. Оно ориентировано как на систему дополнительного образования (учебно-творческие коллективы в сфере НИТ, радиотехники, электроники и электротехники), так и на систему общего образования (компьютерная поддержка курсов и практикума по физике, математике, информационным технологиям). Материалы могут быть использованы для дистанционного образования, в т. ч. учащихся-инвалидов.

Учебный процесс на автоматизированном рабочем месте (АРМ) учащихся, включающем ПЭВМ и позволяющем использовать MathCAD 6.0, ставит качественно новую задачу использования элементов классической математики при изучении соответствующих разделов физики и профориентационных общетехнических дисциплин.

Цель предлагаемого учебного пособия - эффективное практическое усвоение учащимися старших классов основных возможностей базовой версии MathCAD 6.0, а также знакомство с профессиональной версией.

Электронная версия пособия готовится к размещению на WWW-серверах МГДТДиЮ и МИРЭА в разделе "Программно-методические фонды в сфере НИТ".

1. На досуге... - справочные материалы
2. От базовой версии- к профессиональной
3. HELP! - работа со справочной системой MathCAD

Часть 2. Справочные материалы и работа со справочной системой MathCAD 6.0

1. На досуге... - справочные материалы

Панель инструментов MathCAD 6.0 Basic

Встроенные функции MathCAD 6.0

Из числа основного набора функций, поставляемого с MathCAD 6.0, мы рассмотрим лишь наиболее часто применяемые в школе. Вставка функции обеспечивается выбором команды Вставить функцию... из меню Математика либо кнопкой панели инструментов. Вид диалогового окна:

Разумеется, имя функции можно просто напечатать с учетом формата MathCAD (заметим, что имена встроенных функций не чувствительны к шрифту, но чувствительны к регистру ). Рассмотрим функции синус, арксинус и косинус угла t, измеряемого по умолчанию в радианах:

Рассмотрим теперь функции тангенс, арктангенс и котангенс угла х:

Отметим сообщение об ошибке "Особенность" (при попытке вычислить функцию или выполнить операцию с недопустимым значением, - в данном случае - попытка деления на 0).

Рассмотрим теперь функцию "десятичный логарифм числа":

Смысл сообщения об ошибке и последующего редактирования области определения дискретного аргумента z понятен из рисунка.

Рассмотрим функцию floor(x) и ceil(x), возвращающих, соответственно, наибольшее целое число x и наименьшее целое число x:

Функция "мантисса(х)", введенная нами, использует встроенную функцию.

Рассмотрим две логические функции MathCAD.

Первая функция if(условие, значение 1, значение 2) возвращает значение 1, если условие выполняется, иначе - возвращает значение 2. Для определения условия используются обычные логические операторы, вводимые кнопками панели символов либо с клавиатуры как в таблице:

Рассмотрим два примера: функцию округления и изменение по условию знака функции, используя функции floor(x) и ceil(x), определенные выше.

Вторая логическая функция until(x, z) возвращает значение z, пока выражение x (содержащее дискретный аргумент) неотрицательно :

Вернемся опять к понятию массива. В MathCAD одномерный массив назывется также вектором, двухмерный - матрицей. Чтобы создать такой массив, воспользуемся командой Матрицы... из меню Математика или на панели матричных операций кнопкой Появляется диалоговое окно:

Введем имя матрицы, например А, затем оператор присваивания и щелкнем по кнопке Создать :

Последовательно перемещаемся по черным прямоугольникам ввода с помощью клавиши [Tab] и печатаем значения элементов матрицы .

Рассмотрим некоторые операции с матрицей, учитывая, что по умолчанию первый номер - нулевой:

Ясно, что для непосредственного ввода вектора-столбца в диалоговом окне нужно задать количество столбцов - 1.

Арифметические действия между числами и массивами достаточно просты:

Умножение матриц более сложно. Приведем пример единичной матрицы , такой, что произведение матрицы А на единичную не меняет А:

Матричная форма записи удобна для решения в MathCAD систем линейных уравнений. Ниже х - вектор-столбец корней системы:

Рассмотрим операции с одномерными массивами - векторами, причем ограничимся примерами трехэлементных массивов - трехкомпонентных векторов для наглядной геометрической интерпретации:

Вектор , векторное произведение, составляет с векторами-множителями правовинтовую тройку векторов, как, например, вектор напряженности поля силы Лоренца, равный векторному произведению вектора скорости движения точечного электрического заряда на вектор индукции магнитного поля:

Отметим, что векторная диаграмма создана в MathCAD как объект приложения Visio Express Drawing 3.0, позволяющего эффективно создавать графические образы в MathCAD и Microsoft Office, в том числе используя богатый набор готовых графических форм.

Задавать массивы можно и поэлементно , в том числе указывая не полностью весь массив, - MathCAD заменит недостающие элементы нулями:

Выделив элемент массива (на примере ниже это первый элемент созданного массива М0,0 = 1), можно, используя диалоговое окно создания матриц, ниже и правее этого элемента вставить нужное число строк и столбцов, а также, начиная со строки и столбца, на пересечении которых находится выделенный элемент, удалить указанное число строк и столбцов:

Наконец, массив, размер которого превышает 9 строк или столбцов, MathCAD отображает в виде таблицы с полосами прокрутки :

Выделив таблицу пунктирной рамкой , можно изменять её размер.

Уменьшим размер таблицы и создадим рядом её образ в форме графика поверхности:

Отметим также возможность выделения и копирования какой-либо части табличных данных для вставки в другую область рабочего документа (а также в другое приложение Windows).

Рассмотрим две встроенные функции, позволяющие вывести число элементов вектора и поменять порядок элементов на противоположный, в задаче составления из элементов вектора десятичного числа:

Оператор суммирования по степеням основания системы счисления вставляется кнопкой панели символов или клавишами [Ctrl][Shift][4] .

Кроме обращения порядка элементов вектора можно обратить порядок строк матрицы, а также сортировать (расположить по возрастанию элементов) как вектор, так и любые строку или столбец матрицы:

Результат действия встроенных функций сортировки элементов вектора и обращения порядка строк матрицы отобразим на графиках:

MathCAD позволяет кроме десятичного представления чисел (по умолчанию) использовать шестнадцатеричный и восьмеричный форматы: при вводе константы за последней цифрой печатаем латинские буквы Н или О (независимо от регистра). Аналогично использованию этих встроенных констант вводим и встроенные единицы измерений :

Вернемся к знакомству со встроенными функциями для нахождения корня уравнения. Встроенная функция root(f(x),x) (root - корень) при предварительном вводе начального приближения корня возвращает ближайшее к приближенному значение х, при котором выражение f(x) обращается в нуль.

Если выражение f(x) имеет вид полинома типа , то удобнее использовать встроенную функцию polyroots(v), которая для указанного вектора коэффициентов полинома начиная с константы возвращает вектор всех корней (без предварительных приближений):

Используя встроенную функцию root(f(x),x) рассмотрим простейший способ решения уравнения с параметром . Для этого определяем функцию двух переменных - от параметра и от неизвестной уравнения, вычисляющую при заданном приближении корень уравнения для каждого значения параметра:

Создадим целочисленный массив значений параметра а в уравнении предыдущего примера и определим массив решений уравнения для каждого значения параметра:

Перейдем теперь к нахождению корней системы уравнений. Заметим, что максимальное число уравнений (и переменных) равно 50 (минимальное - 1). При предварительно указанных начальных приближениях корней ключевое слово Given (дано, - формат шрифта - любой) указывает MathCAD, что далее в документе следуют уравнения системы, правая и левая части которых разделены символом логического равенства [Ctrl][=] (система может включать и неравенства ограничений с соответствующими символами неравенств). После этого встроенная функция Find(x,y,...)(Find - найти) возвращает вектор решений:

Найдем теперь координаты точки пересечения окружности и прямой на плоскости. Предварительно построим график, используя отдельную переменную z, чтобы "не мешать" работе встроенной функции:

Найдем координаты одной из точек пересечения параболы и синусоиды с теми же значениями z, что и выше, используя при системе уравнений ограничительное неравенство x<0:

Обратим внимание, что пользователь "вправе" определять собственные функции, которые можно использовать и для графических представлений, и для вычислений, в том числе для нахождения корней системы уравнений:

Ранее мы уже находили символьное решение уравнения движения. Приведем еще ряд примеров символьного решения уравнений и их графики. Напомним, что в отсутствие логического (полужирного) знака равенства либо иного логического оператора MathCAD приравнивает введенное выражение нулю. Решения находим, выделив переменную, командой Решить относительно переменной из меню Символика :

Отметим, что в подсвеченном выражении нами использована десятичная точка при записи числа 3, в результате чего при символьном вычислении выражение с иррациональным числом 13 получает десятичную аппроксимацию с 20 значащими цифрами (по умолчанию).

В ответе последнего примера использовано логическое умножение:(x<2) И (-2<x).

Расположение ответа устанавливается в диалоговом окне, вызываемом командой Расположение результата... в меню Символика. Например, в первых трех примерах расположение ответа горизонтально (справа от выражения), а в последнем примере расположение вертикально, вставляя строку. Команда Замещать в том же меню приводит к замещению введенного выражения результатом символьных вычислений (выражение при этом пропадет).

Символьные преобразования введенного и выделенного полностью синей рамкой выражения (в т. ч. нахождение численного результата) вызываются командой Вычислить в символах (клавиши [Shift][F9]) меню Символика :

Площадь под кривой выражается иррациональным числом - 2, десятичная аппроксимация которого с 20 значащими числами вызвана использованием десятичной точки при вводе числа 2.

Отметим также погрешность при обычном, "не символьном" вычислении факториала 10.

Команда Упростить из меню Символика выполняет основные алгебраические и тригонометрические преобразования выделенной части выражения (в частности, если всё выражение не упрощается). В некоторых случаях результат упрощения просто совпадает с результатом символьного вычисления:

Команда Разложить по степеням из меню Символика в выделенном полностью выражении разлагает степени и произведения сумм, числители дробей (выражение представится как сумма дробей). Тригонометрические функции сложного аргумента будут разложены в выражения, включающие только синусы и косинусы одиночных переменных :

Команда Разложить на множители из меню Символика разлагает выделенную часть выражения (при трудностях выделения следует выбранную часть заключить в скобки и щелкнуть по скобке). Целое число будет представлено произведением степеней простых чисел :

Приведение подобных членов (выделяется переменная либо встроенная или введенная пользователем функция вместе с аргументом) объединяет члены, содержащие одинаковые степени выделенного выражения по команде Разложить по подвыражению из меню Символика :

Рассмотрим теперь порядок замены переменной на скопированное ранее выражение :

В меню Символика содержатся также команды символьных преобразований матриц Транспонировать и Обратить. Создадим матрицу из элементов а₀₀ ... а₁₁ , определив предварительно их численные значения:

Теперь рассмотрим результаты символьных преобразований, а также получим численные значения, нажимая всякий раз в конце преобразования на клавишу [=]:

Воспользуемся возможностями символьных преобразований для получения формул абсолютной и относительной погрешностей косвенных измерений на примере косвенного измерения удельного сопротивления материала тонкого провода.

Согласно закону Ома и определению удельного сопротивления r проводника найдем расчетную формулу:

В формулу входят непосредственно измеряемые приборами физические величины: u - напряжение, i - сила тока, l - длина провода, d - диаметр провода.

Пусть также известны абсолютные погрешности прямых измерений u, i, l, d. Для нахождения формулы абсолютной погрешности косвенного измерения можно использовать формулу полного дифференциала относительно конечных погрешностей прямых измерений:

Модули частных производных найдем с помощью символьных вычислений:

Теперь отредактируем полученные результаты: удалим прямые (да и круглые) скобки. Формула абсолютной погрешности довольно громоздкая:

Найдем более компактную формулу относительной погрешности как отношение выражения для абсолютной погрешности к выражению для удельного сопротивления:

Выделив правую часть выражения, выберем в меню Символика команду Разложить по степеням . Получим результат сокращений:

Как видим, относительная погрешность косвенного измерения определяется относительными погрешностями прямых измерений, причем, заметим, процент ошибки измерения диаметра провода входит в формулу удвоенным:

Пусть, например, мы однократно измерили диаметр штангенциркулем . Абсолютнная погрешность измерения равна инструментальной погрешности и составляет 0,05 мм. Пусть также измеренный диаметр равен 0,5 мм. Тогда измерение диаметра штангенциркулем внесло в общую относительную погрешность 20%:

Ясно, что для измерения диаметра тонкой проволоки придется найти микрометр , что уменьшит процент вносимой ошибки в 10 раз.

Итак, символьные преобразования позволили, во-первых, легко найти формулы погрешностей косвенного измерения величины, зависящей от 4 переменных, и, во-вторых, еще до прямых измерений оценить методику эксперимента.

2. От базовой версии- к профессиональной

Профессиональная версия MathCAD 6.0 PLUS отличается от базовой рядом дополнительных возможностей и удобств для пользователя.

В области символьных вычислений это, во-первых, символьный знак равенства "", возвращающий не только число, но и выражение. Для его действия необходимо выбрать команду Использовать символику при помеченной команде Автоматический режим (вычислений) в меню Математика :

Напомнимим, что автоматический режим отображается на панели инструментов кнопкой с горящей лампочкой:

После введенного выражения набираем комбинацию клавиш [Ctrl][.], затем [Enter] :

По умолчанию при этом выполняется операция Вычислить в символах ([Shift][F9]) из меню Символика, но если предварить выражение специальным ключевым словом , то будут выполняться и другие команды меню, как это видно из рисунка ниже (в сущности, указанные команды - дословный перевод английских наименований соответствующих математических преобразований, которые и являются ключевыми словами):

В последнем примере число "4", напечатанное правее ключевого слова "float", означает четыре значащих цифры в вычисляемом с плавающей запятой результате.

На примере ниже видно, что ключевое слово "assume" приводит к игнорированию численного значения соответствующей переменной:

Во вторых, особенностью профессиональной версии является вычисление сложных выражений в режиме оптимизации (команда Оптимизировать из меню Математика): предварительно такое выражение оптимизируется, т. е. как бы подвергается последовательно двум символьным операциям - разрешению в символах и затем упрощению , а вычисление уже производится над полученным простым выражением.

Найдем сумму квадратов целых чисел от 1 до 100. Получим сначала (в два этапа) упрощенную простую формулу. Потом найдем численный результат напосредственно. А затем применим режим оптимизации только к одному выражению с помощью ключевого слова "optimize": рядом с ним появится красная звездочка, двойной щелчок мыши по которой открывает окно с результатами символьного упрощения, при этом дальнейший расчет производится именно по найденной формуле, т. е. наиболее эффективно:

В-третьих, в профессиональной версии есть возможность символьного решения систем уравнений .

Если после такого решения системы в общем виде ввести численные значения соотвествующих переменных, то, скопировав столбец формул в буфер обмена и затем вставив его после определения переменных, оператором "=" получаем численные значения корней системы, имеющих геометрический смысл координат точек пересечения кривых. В примере ниже - это точки пересечения окружности и прямой:

Программирование в MathCAD 6.0 PLUS.

В профессиональной версии MathCAD 6.0 PLUS существует возможность определить функцию, используя не один, а несколько операторов, и тем самым определить функцию не выражением, а программой .

На панели символов встроена палитра программирования :

Рассмотрим два способа задания кусочно-непрерывной функции:

Оператор Add line создает справа от линии столбец строк для ввода операторов; if (если) - условный оператор: выражение f(x) принимает значение слева от if, если условие справа истинно; слева от оператора otherwise (иначе) введено значение, которое принимает выражение f(x), если условие справа от if ложно. Оператор локального присваивания присваивает внутри программы , локально переменной слева значение справа от оператора.

Операторы while (пока) и for (для) позволяют организовать циклические процессы вычислений, а оператор break дает возможность выхода из цикла.

3. HELP! - работа со справочной системой MathCAD

Справочная поддержка пользователя MathCAD многовариантна: кроме всплывающих подсказок, возникающих при наведении указателя мыши на элементы управления окном (кнопки панелей и т. п.), кратких сообщений в строке соообщений внизу окна и сообщений об ошибках (в красной рамке) в меню ? выполняются следующие команды справочной службы:

Команда Индекс открывает типовое окно Справки Windows-приложений:

Щелчком по кнопке слева от нужного раздела открываем соответствующую справку. Выбрав кнопку-команду Содержание, открываем окно со понятийным списком, передвигаться по которому можно как с помощью полос прокрутки, так и напечатав несколько букв имени нужного понятия:

Выведем, например, раздел справки "градусы и радианы", отмеченный на рисунке выше:

Открыв закладку Поиск , получаем дополнительные возможности поиска нужного термина.

Вызвать раздел справки, относящийся к элементу документа или окна MathCAD можно после нажатия комбинации клавиш [Shift][F1] (справа от белой стрелки - указателя мыши указателя мыши появится черный вопросительный знак) щелчком по нужному элементу. Вызовем таким образом контексную справку , например, по кнопке создания текстовой области:

Команда Техническая поддержка... меню ? вызывает ответы на вопросы, связанные с техническими проблемами пользователя.

Команда Шпаргалки меню ? открывает гипертекстовую электронную книгу , состоящую из готовых файлов - примеров MathCAD, которые можно непосредственно редактировать (при этом информация в них защищена от изменений, - изменения не сохраняются при закрытии шпаргалки), а также переносить в свой документ:

Откроем двойным щелчком мыши гиперссылку из раздела "Графики":

Точно так же откроем раздел "Построение окружности", выделим пунктирной рамкой рабочие области документа-примера и перетащим мышью в свой документ:

Аналогичный результат можно получить, вставив скопированные в буфер обмена выделенные области шпаргалки либо, после двойного щелчка по специальной кнопке шпаргалки, двойным щелчком по своему документу: первое действие копирует весь пример в буфер обмена, второе - вставляет скопированное. Указатель мыши при этом примет вид стрелки с книгой.

Команда Открыть книгу... меню Книги дает доступ к имеющимся электронным книгам, устроенным аналогично шпаргалкам.

Доступ к готовым файлам MathCAD, расположенных на Web-серверах разработчика MathCAD - фирмы MathSoft (MathSoft, Inc. USA), вызывается командой Интернет меню Файл:

Вид Web-страницы фирмы MathSoft:

Содержание
Вернуться на страницу <Методические разработки>