Вернуться на страницу <Методические разработки>
Содержание

• Пример 1. Одномерное пространство - прямая линия.
• Пример 2. Двухмерное пространство - плоскость.
• Пример 3. Трехмерное пространство.
• Пример 4. Найдем определитель матрицы 3x3.
• Пример 5. Найдем решение системы из 4 линейных уравнений.
• Пример 6. Расчёт электрической цепи постоянного тока с помощью правил Кирхгофа.

Речь пойдёт о нахождении координат точки в эвклидовом пространстве (в частном случае n x n системы линейных уравнений A·x = b такой, что rang(A) = rang(A|b) = n), доступном для понимания обычному старшекласснику и применяемом для расчёта электрических цепей, в т. ч. используя MathCAD.

Пример 1. Одномерное пространство - прямая линия.

Вид уравнения, определяющего точку с координатой 5 на оси x (см. рис. 1), очевиден:

Ясно, что общий вид такого уравнения имеет форму:

откуда находим решение:

Найдем координаты точки М пересечения прямых, проведённых через точки координатных осей x1, x2 как на рис. 2:

Рис. 2

Итак, как это видно из рис. 2 для прямой (1), если x1 = 0, то x2 = 3 и если x2 = 0, то x1 = 3. Очевидно, этим условиям удовлетворяет уравнение

Для прямой (2) x2 = -1 если x1 = 0 и x1 = 1 если x2 = 0, чему удовлетворяет уровнение

Найдём решение системы двух линейных уравнений (2.1) и (2.2), т. е. координаты точки М, принадлежавшей одновременно и прямой (1) и прямой (2), методом подстановки:

• из (2.1) имеем: x1 = 3- x2;
• подставив это выражение в (2.2), получаем: x2 = 2;
• подставив это значение в (2.1), получим: x1 = 1.

Замечание. Можно сделать общий вывод, что система двух линейных уравнений типа

если она имеет единственное решение, имеет геометрический смысл пересекающихся в одной точке плоскости прямых, и это решение - суть координаты точки пересечения прямых.

Здесь первый индекс коэффициентов при неизвестных соответствует номеру уравнения, второй - номеру неизвестной. Индекс свободных членов соответствует номеру уравнения.

Пример 3. Трехмерное пространство.

Здесь точка есть место пересечения двух прямых, а прямые - пересечением плоскостей. Аналогично выглядит вершина пирамиды, образованная пересечением двух рёбер - общего геометрического места трёх граней (см. рис. 3).

Рис. 3

Плоскость каждой грани задаётся линейным уравнением относительно трёх неизвестных x1, x2 и x1, - итого три линейных уравнения:

Ясно, что нахождение решений системы трех уравнений, т. е. пространственных координат вершины пирамиды, методом подстановки становится довольно громоздким (не говоря уж о большем числе переменных).

Более эффективные методы нахождения решений систем линейных уравнений - предмет линейной алгебры, особого раздела высшей математики. Один из таких методов носит название правила Крамера. Суть его можно выявить уже при решении системы двух уравнений в общем виде.

Запишем систему из двух линейных уравнений в общем виде:

Здесь aij - коэффициент при j-й неизвестной в i-м уравнении; - свободный член в i-м уравнении.

Из первого уравнения найдем выражение для неизвестной :

Подставим найденное вместо во втором уравнении:

Откуда найдем выражение для переменной :

Или, после упрощения:

Подставим полученное выражение во второе уравнение исходной системы:

Откуда находим выражение для переменной :

Или, после упрощения:

Наконец, в более удобной форме записи:

Для наглядности представим таблицу - матрицу коэффициентов при неизвестных, а также матрицу - столбец свободных членов системы уравнений:

Сравнивая с формулами для неизвестных, замечаем, что одинаковый знаменатель в обоих выражениях есть алгебраическая сумма произведений элементов разных строк и, одновременно, разных столбцов матрицы коэффициентов.

Числители представляют из себя совершенно аналогичную сумму для матриц, в которых столбец коэффициентов при соответствующем неизвестном заменен на столбец свободных членов:

Очевидно, что произведение "слева - направо и вниз" (назовем это направление "вдоль главной диагонали матрицы") имеет знак "+", а "слева - направо и вверх" (назовем это направление "вдоль побочной диагонали матрицы") имеет знак " - " (рис. 4):

Рис. 4

Число, получающееся из такой суммы произведений, назовем определителем (детерминантом) матрицы. Нахождение решений системы уравнений как отношений соответствующих определителей носит название правил Крамера.

Положим, что определитель матрицы 1x1, состоящей из единственного элемента-числа, равен самому числу (обозначается определитель прямыми скобками):

Матрица получается из матрицы после удаления (зачеркивания) строки и столбца, на пересечении которых находится элемент (рис. 5):

Рис. 5

Определитель такой "меньшей" матрицы называется минором элемента . Заметим также, что знак перед произведением элемента на его минор очевидным образом зависит от четности суммы индексов (номеров строки и столбца) элемента и может быть "уловлен" множителем для первого произведения и для второго произведения:

Произведение типа или "минор со знаком" называется алгебраическим дополнением элемента и обозначается

Мы получили формулу разложения определителя по элементам первого столбца.

Покажем, что значение определителя можно найти его разложением по элементам любого столбца или любой строки (очевидно, критерием выбора будет количество в них нулей !). Для этого будем переписывать выражение , "примеряя" прямые скобки миноров всякий раз на другие элементы:

Это - разложение определителя по элементам первой cтоки. Далее:

Это - разложение определителя по элементам второй cтоки. Наконец:

Это - разложение определителя по элементам второго столбца.

Нахождение определителя матрицы методом его разложения по элементам каких-либо строки или столбца - общее правило, позволяющее (при расчетах "вручную") шаг за шагом уменьшать размер определителей.Убедимся в этом на примере определителя матрицы 3x3 в общем виде:

Перепишем этот результат, вынося за скобки элементы, например, первой строки и обозначив определитель (детерминант) греческой буквой (дельта):

Здесь минор в алгебраическом дополнении, например, элемента образован при удалении из исходной матрицы первой строки и второго столбца, так как они пересекаются как раз на элементе (рис. 6):

Рис. 6

Применив к нему "правило диагоналей", получим выражение, противоположное по знаку выражению в скобках при элементе , отсюда (-1) перед этим минором. Очевидно, что и здесь знаки учитываются множителями типа :

Мнемоническое правило "главной и побочной диагонали" легко применить и для нахождения определителя матрицы 3x3 (рис. 7), однако уже при 4x4 элементов правило не эффективно.

Рис. 7

Пример 4. Найдем определитель матрицы 3x3:

В самом деле, запишем, используя "правило диагоналей":

Найдем величину определителя методом его разложения по элементам второго столбца (в нем больше всего нулей!):

Первые два произведения заведомо нулевые, третье же найдем, используя "правило диагоналей":

Последнее выражение равно .

Пример 5. Найдем решение системы из 4 линейных уравнений:

Перепишем для наглядности (впредь в этом шаге не будет особой необходимости) систему уравнений в так называемой "стандартной форме", указывая, во-первых, и единичные коэффициенты и, во-вторых, при отсутствии в уравнении какой-то неизвестной, записывая ее с коэффициентом ноль:

Обозначим буквой латинской буквой матрицу коэффициентов при неизвестных и буквой столбец свободных членов:

В символьной форме на языке матричной алгебры система линейных уравнений записывается просто в виде:

откуда вектор неизвестных - решение системы - равен:

Можно также найти решения системы линейных уравнений с помощью специальной функции Mathcad PLUS lsolve(A,b), определив предварительно матрицу коэффициентов при неизвестных А и вектор-столбец свободных членов b.

Итак, для приведённой выше системы из 4-х линейных уравнений MathCAD сразу же дает ответ:

Мы же будем находить решения по правилу Крамера как отношения определителей. Поэтому найдем для последующей сверки значения всех нужных определителей при помощи MathCAD, последовательно заменяя в матрице А столбцы коэффициентов при неизвестных на столбцы свободных членов b, и получая матрицы А1,..,А4, определители которых, согласно правилу Крамера, есть числители для определения x1,..,x4:

Найдем последнее решение "вручную". Для расчета разложим его по элементам первого столбца, а определители-миноры найдем с помощью "правила диагоналей". Определитель найдем разложением по элементам четвертой строки.

Пример 6. Расчёт электрической цепи постоянного тока с помощью правил Кирхгофа.

Найдем токи в ветвях электрической цепи постоянного тока с известными значениями сопротивлений резисторов и ЭДС (пусть, например, их численные значения равны их номеру в списке элементов: R2 = 2 Ом, е1 = 1 В и т. д.) согласно схеме на рис. 8, используя правила Кирхгофа.

Рис. 8

Напомним, что последние - суть применение закона сохранения электрического заряда и закона сохранения энергии в форме равенства нулю алгебраической суммы токов в N-1 из N узлов и совпадения алгебраической суммы напряжений на резисторах и алгебраической суммы ЭДС при обходе всех "независимых" контуров(т. е. включающих "новые" ветви). Направления токов - произвольны (в случае неправильно угаданного направления решение получится отрицательным, и останется лишь поменять направление стрелки тока на противоположное), направление обхода одно и то же для всех контуров (например, как у нас - по часовой стрелке). Например, как на рис. 8.

Конкретно, для узла 1 (красный цвет) запишем:

Для контура 1 (красный цвет):

Для контура 2 (синий цвет):

С учетом численных значений запишем в стандартной форме:

Выпишем матрицу коэффициентов при неизвестных и вектор-столбец свободных членов системы уравнений и применим функцию "lsolve", содержащуюся в Mathcad PLUS:

На схеме (рис. 8), по правилам Кирхгофа, направление тока i1 нужно сменить на противоположное.

Решения системы уравнений, т. е. численные значения токов, соответственно, равны:

Умение находить решения систем линейных уравнений позволяет учащимся более конкретно исследовать электрические цепи различных конфигураций, улучшая качество знаний в нескольких рахделах курса физики, а также оказывает существенную поддержку в последующем образовательном процессе.

Содержание
Вернуться на страницу <Методические разработки>