Вернуться на страницу <Методические разработки>
Содержание

Элементы электротехники

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ ПЕРЕМЕННОГО СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

Настоящее пособие отражает опыт работы сотрудников МГДТДиЮ, МИРЭА, школ и межшкольных учебных комбинатов по внедрению средств НИТ в непрерывный образовательный процесс. Оно ориентировано как на систему дополнительного образования (учебно-творческие коллективы в сфере НИТ, радиотехники, электроники и электротехники), так и на систему общего образования (компьютерная поддержка практикумов по физике, математике, информационным технологиям). Материалы пособия могут быть использованы для дистанционного образования, в т. ч. учащихся-инвалидов.

Учебный процесс на автоматизированном рабочем месте (АРМ) учащихся, включающем ПЭВМ и позволяющем использовать MathCAD и Electronics Workbench ставит качественно новую задачу использования элементов классической высшей математики при изучении соответствующих разделов физики и профориентационных дисциплин, углубляя знания основных законов физики и, кроме того, оказывая существенную поддержку в последующем образовательном процессе (вуз, техникум).

Предлагаемое учебное пособие по виртуальному (Electronics Workbench 5.12) и математическому (MathCAD 6.0 PLUS) моделированию и расчету электрических цепей представляет собой конспективное изложение основных моментов теоретического и экспериментального освоения некоторых разделов электротехники на базе АРМ учащихся. Особенностью содержания пособия является использование комплексных чисел и метода контурных токов для математического моделирования и бескомпьютерного расчета сложных разветвленных активно-реактивных цепей переменного синусоидального тока, в т. ч. трехфазных цепей с аварийными режимами работы.

Электронная версия пособия готовится к размещению на WWW-серверах МГДТДиЮ и МИРЭА в разделе "Программно-методические фонды в сфере НИТ".

Создадим в Electronics Workbench 5.12 виртуальную электронную модель разветвленной электрической цепи переменного синусоидального тока:

Нагрузка в первой ветви имеет активно-индуктивный, а во второй - активно-ёмкостный характер. В целом цепь активно-индуктивная: осциллограмма напряжения, прямо пропорционального силе суммарного тока, снимаемая (на канал B осциллографа) с активного внутреннего сопротивления амперметра I, равного 1 мОм, отстает от осциллограммы напряжения источника питания (канал A).

Определим по временным диаграммам запаздывание синусоиды тока относительно синусоиды напряжения:

Создадим в MathCAD 6.0 PLUS математическую модель цепи. Определим русские имена размерностей в СИ через встроенные:

Определим частоту, угловую частоту, период и действующее значение для источника синусоидального напряжения; для построения графиков определим также время как дискретный аргумент:

Определим параметры элементов первой ветви как в виртуальной модели. Определим и найдем величины активного, реактивных и полного сопротивления ветви, а также угол j 1IU сдвига фаз тока I1 относительно напряжения U:

Проведем те же действия для второй ветви:

По закону Ома определим действующие значения токов в ветвях. Определим функцию мгновенного значения напряжения и, также согласно закону Ома, определим функции мгновенных значений токов. Найдем действующие значения токов и как средние квадратичные за период их мгновенных значений:

Определим функцию мгновенного значения суммарного тока и найдем, как и выше, его действующее значение:

Задав начальное значение угла сдвига фаз полного тока относительно напряжения равным 0 рад, найдем этот неизвестный угол как численное решение уравнения в нулевой момент времени:

Построим на декартовом графике временную диаграмму напряжения и создадим по ней в Visio Express Drawing 3.0 векторную диаграмму:

Точно так же создадим временные и векторную диаграммы токов:

Найдем относительную погрешность результата в виртуальной модели относительно математической, например - для угла сдвига фазы между полным током и напряжением:

Рассчитаем значения токов в ветвях, используя понятие проводимости, величины, обратной сопротивлению.

Вектор полной проводимости первой ветви Y1 коллинеарен вектору силы тока I1 и в системе координат относительно вектора напряжения U, общего для обеих ветвей, образует с ним угол 1IU, равный по абсолютной величине и обратный по знаку углу 1UI напряжения относительно тока, как на рисунке.

Модуль вектора проводимости равен величине, обратной модулю вектора полного сопротивления Z1. Горизонтальная составляющая 1 вектора Y1 называется "активной проводимостью", а вертикальная составляющая b1 - "реактивной".

Определим формулы расчета проводимостей 1-й ветви по диаграмме проводимостей, найдя значения тригонометрических функций угла из диаграммы сопротивлений:

Аналогично определим проводимости второй ветви и по векторной диаграмме проводимостей найдем полную проводимость цепи и угол сдвига фаз полного тока цепи относительно напряжения. Найдем также действующие значения токов ветвей и полного тока.

Сопротивление, согласно закону Ома, численно равно работе по переносу +1 Кл электричества или напряжению на участке цепи при силе тока, равной 1 А. Точно так же, проводимость численно равна силе тока на участке цепи под напряжением 1 В. В этом смысле такие процессы (работа по переносу заряда и скорость переноса) естественно представимы на временных и векторной диаграммах.

Зная действующие значения сопротивления и проводимости 1-й ветви, а также определив начальную фазу для синусоиды сопротивления (вектор сопротивления коллинеарен вектору напряжения), определим функции мгновенных значений и по их графикам построим векторную диаграмму:

Приведем также "диаграммы отражений" для синусоиды полного сопротивления 1-й ветви:

Оказывается, возможна форма математического представления вектора в виде линейной комбинации его горизонтальной и вертикальной составляющих - их суммы, причем вертикальная составляющая умножается на коэффициент, модуль которого равен 1, на так называемую "мнимую единицу" i (иногда j):

Такое представление вектора называется "комплексным числом", при этом горизонтальная составляющая именуется "действительной частью", а вертикальная - "мнимой частью" комплексного числа. В Mathcad встроенные функции, возвращающие значения этих частей, носят имена, соответственно, Re(z) (от real, действительный) и Im(z) (от imaginary, мнимый), причем i вводится сразу за числом, либо за 1, на которую умножается выражение мнимой части.

Правила нахождения модуля комплексного числа и обратного ему аналогичны нахождению модуля полного сопротивления или проводимости (импеданса и адмиттанса) цепи и переходу от сопротивления к проводимости, а из условия, что произведение комплексного числа на ему обратное равно 1 следует, что или что . Сложение и вычитание комплексных чисел сводятся, как это естественно для представляемых ими векторов, к сложению и вычитанию их действительных и мнимых частей.

Покажем свойства комплексного числа на примере численного значения полного сопротивления 1-й ветви:

Перемножим выражения в скобках и убедимся в необходимости того, что квадрат "мнимой единицы" i равен по определению -1:

Проведем расчет рассмотренной выше цепи, используя комплексное представление векторов, представляющих в свою очередь гармонически изменяющиеся во времени физические процессы, с учетом размерностей величин:

Рассчитаем полную проводимость всей цепи как сумму проводимостей ветвей, определим активную и реактивную проводимости и проведем расчет полной, активной и реактивной мощностей, а также "косинуса " нашей схемы:

Активная и реактивная мощности всей цепи, как компоненты вектора S, равны сумме одноименных комплексных мощностей ветвей.

Применим правила Кирхгофа для расчета схемы. Для системы уравнений получим в Mathcad cначала численное и символьное решения, затем воспользуемся встроенной функцией LSOLVE(A,b) для нахождения корней системы линейных уравнений с матрицей A коэффициентов при неизвестных и вектором-столбцом b свободных членов. Наконец, найдем "вручную" значение определителя |A| матрицы комплексных коэффициентов при неизвестных, имея в виду использование правил Крамера при безкомпьютерном расчете цепи.

Определим комплексные векторы напряжения и полных сопротивлений ветвей цепи. Для численного решения системы уравнений зададим начальные приближения решений - токов I1, I2 в ветвях и суммарного тока I источника напряжения как мнимые единицы i:

Для узла 1 запишем уравнение непрерывности токов, а для контуров 1 и 2 приравняем сумму падений напряжений сумме ЭДС при обходе контуров по часовой стрелке, как на рисунке. Определим также вектор-столбец решений:

Найдем вектор-столбец модулей токов и вектор-столбец их начальных фаз:

При символьном нахождении численных значений неизвестных токов их начальные приближения задавать не нужно, - достаточно задать, как и выше, значения напряжения и сопротивлений ветвей, а затем, определив вектор-столбец решений, воспользоваться символьным знаком равенства ( [Ctrl] + [.] ):

Наконец, зададим матрицу А коэффициентов при неизвестных токах системы уравнений и вектор-столбец b свободных членов:

Найдем решение с помощью встроенной функции LSOLVE(A,b):

Найдя предварительно в Mathcad численное значение определителя |A| матрицы A, рассчитаем его значение сначала методом разложения по элементам первого столбца, затем используя для расчета определителя 2-го порядка мнемоническое "правило диагоналей":

Уменьшить число уравнений в решаемой системе на количество, равное числу уравнений по 1-му правилу Кирхгофа, позволяет ввод условных круговых контурных токов (все - по или против часовой стрелки), значение которых на "периферийных" ветвях совпадает со значениями токов ветвей, а токи "внутренних" ветвей цепи равны разности смежных контурных токов:

Контурный ток i1 совпадает с током I1 первой ветви, контурный ток i2 совпадает с током источника напряжения I. Ток второй ветви I2 равен разности контурных токов i2, совпадающего по направлению с током I2 (в соответствии с направлением ЭДС внутри источника и напряжения вне его), и i1, что не противоречит уравнению непрерывности токов и закону сохранения электрического заряда для узлов цепи (1-му правилу Кирхгофа):

Обходя контуры по направлению контурных токов, в нашем случае - по часовой стрелке, записываем 2-е правило Кирхгофа.

На сопротивлении z1 при обходе по часовой стрелке 1-го контура напряжение создается током i1 и равно произведению i1z1; на сопротивлении z2 напряжение создается алгебраической суммой контурных токов i1 и i2 (с учетом того, что направление обхода сопротивления противоположно току i2) и равно (i1 - i2)z2 . Источники напряжения в 1-м контуре отсутствуют.

При обходе 2-го контура вдоль контурного тока i2 напряжение на сопротивлении z2 равно (i2 - i1)z2, т. к. теперь направление тока i1 противоположно направлению обхода, и равняется сумме ЭДС в контуре, а именно - напряжению U источника.

Для двух контуров получили систему двух линейных уравнений относительно двух неизвестных контурных токов:

Определим матрицу A коэффициентов при неизвестных и вектор-столбец b свободных членов, затем применим встроенную функцию LSOLVE(A,b):

С учетом того, что в Mathcad номер первых строки и столбца по умолчанию равен 0, определим токи в ветвях:

Воспользуемся методом контурных токов для расчета токов и напряжений в трехфазной цепи при аварийном обрыве нулевого провода, как на виртуальной модели в Electronics Workbench 5.12 ниже:

На рисунке ниже показана условная схема цепи с обрывом нулевого провода и её эквивалентная схема: фазные нагрузки оказались включенными под линейные напряжения UAB и UBC.

Определим численные значения сопротивлений фаз, линейных напряжений и составим систему из двух уравнений относительно неизвестных контурных токов i1 и i2 (как видно на схеме виртуальной модели, нулевая начальная фаза определена для фазного напряжения UAN трехфазного источника напряжения, относительно которого начальные фазы линейных напряжений UAB и UBC составляют, соответственно, +30° и -90°):

Определим матрицу A коэффициентов при неизвестных, вектор-столбец b свободных членов уравнений, а также вектор-столбец решений, который найдем с помощью встроенной функции LSOLVE(A,b):

Определим фазные токи IA, IB и IC через контурные i1 и i2 и найдем их:

Согласно закону Ома определим и найдем фазные напряжения; сравнивая также рассчитанное напряжение UC0 с показанием соответствующего прибора на виртуальной модели, определим относительную погрешность этого показания относительно рассчитанного:

Определим теперь напряжение "смещения нуля относительно нейтрали" N генератора U0N. Для этого определим напряжение фазной обмотки генератора UAN, затем найдем величину, численно равную работе по переносу +1 Кл от 0 до N по одному из возможных "маршрутов", например: 0 A N, т. е. напряжение U0N как сумму напряжений U0A = - UA0 и UAN:

Определим функции мгновенных значений линейного напряжения uAB(t), фазного uA0(t) и напряжений u0N(t) и u0N(t), затем создадим график, по которому построим векторную диаграмму:

Получим осциллограммы напряжений uAN(t) и u0N(t) на виртуальной модели. Для этого условный нулевой уровень отсчета ("землю") присоединим к нейтрали, к ней же присоединим клемму заземления осциллографа. На канал А осциллографа подадим потенциал точки А схемы, на канал В - точки 0:

По временным диаграммам определим сдвиг фаз между u0N(t) и uAN(t).

Временной сдвиг составляет, как это видно на рисунке слева, -2.25 мс, что соответствует фазовому сдвигу:

Найдем в Mathcad этот же сдвиг фаз как разность аргументов соответствующих векторов:

Представим фазные и линейные напряжения генератора, фазные напряжения нагрузок и напряжение смещения нуля на единой векторной диаграмме:

Рассмотренную цепь также можно рассчитать, начав с записи уравнения непрерывности токов (1-е правило Кирхгофа) для узла 0 (см. эквивалентную схему цепи на стр. 16, а также векторную диаграмму напряжений выше):

Выбрав в качестве единственной неизвестной напряжение, например, UB0 при заданных как выше сопротивлениях ветвей и линейных напряжениях, получаем уравнение с одной неизвестной, численное решение которого находим в Mathcad:

Теперь дополнительно определяем и находим токи ветвей:

Литература:

1. Касаткин А.С., Немцов М. В. Электротехника: Учеб. пособие для вузов. - 4-е изд., перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 440 с., ил.
2. Edminister, Josef. Schaum's Outline of Theory and Problems of Electric Circuits. Second Edition./McGraw-Hill, Inc., 1995.
3. Ходяков И.А. Основы электротехники. Часть I. Под ред. И.П. Дешко. Учебное пособие /МГДТДиЮ, МИРЭА - М., 1998, 38с.
4. Сборник творческих проектов учащихся 1998/99 уч. года. Под ред. И.А. Ходякова/ МГДТДиЮ, МИРЭА - М., 1999, 50с.

Содержание
Вернуться на страницу <Методические разработки>