Вернуться
на страницу <Методические разработки>
Содержание
Элементы электротехники
1. ОДНОФАЗНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Источники электрической
энергии синусоидального тока.
Рассмотрим принцип действия
электромеханического генератора, в котором
механическая энергия турбин преобразуется в
энергию вихревого электрического поля.
Принципиальная схема содержит неподвижный
плоский разомкнутый виток с выводами a и b и
внутри витка - постоянный магнит (точнее -
электромагнит, питающийся от отдельного
генератора постоянного тока), который вращается
с постоянной частотой f , а, значит, и с
постоянной угловой частотой   -
амплитудное значение потока:
При этом мгновенное значение перпендикулярной
к контуру составляющей потока, направленной по
оси х, равно:
По закону электромагнитной индукции Фарадея в
контуре индуцируется ЭДС, мгновенное значение
которой определено скоростью изменения
перпендикулярной составляющей потока
магнитного поля:
Здесь Еm - амплитудное значение ЭДС
индукции.
Построим в MathCAD 6.0 PLUS графики мгновенных
значений потока магнитного поля сквозь контур и
ЭДС индукции. Приведем также график
причинно-следственной связи -
"вольт-веберную" характеристику или фазовую
диаграмму, на которой по оси х - изменение
"причины" - потока магнитного поля, а по оси у
- изменение "следствия" - ЭДС индукции. Чтобы
размеры графиков были сопоставимы, выберем малую
частоту, равную 1 Гц.
Если к выводам а и b подключить нагрузку -
резистор Rн, то в цепи возникнет
электрический ток, сила которого, согласно
закону Ома, равна:
Здесь Im - амплитудное значение силы
тока.
Средние значения синусоидальных
величин.
Напомним, что средней величиной называют такую постоянную
величину, которая производит тот же эффект,
что и переменная величина. Например,
результатом механического движения будет
пройденный путь, или, геометрически, площадь под
графиком скорости. Площадь под графиком
зависимости силы тока от времени будет иметь
физический смысл величины протекшего
электрического заряда.
Отношение величины площади под кривой к
величине изменения аргумента и есть такая
постоянная величина: площадь прямоугольника ее
высоты равна площади криволинейной трапеции.
Найдем средние значения синусоидального тока
за период Т и за положительный пол-периода
(последнее, очевидно, не равно нулю и принимается
по определению за среднее значение тока):
Найдем действующее значение
синусоидального тока, т. е. величину постоянного
тока, выделяющего за период такое же количество
теплоты на резистивном элементе, что и
переменный ток, согласно закону Джоуля-Ленца:
Действующее значение синусоидального тока
есть его среднее квадратичное за период:
Для других синусоидальных величин соотношения
между мгновенными, амплитудными и средними
значениями будут аналогичными полученным.
Покажем на графиках мгновенное значение силы
тока, его квадрат, средние за период и
пол-периода, действующее значения:
Замечание 1. Электроизмерительные
приборы ряда систем (тепловые,
электродинамические, электромагнитные и
электростатические) пригодны для измерения как
постоянного, так и синусоидального токов;
проградуированные при постоянном токе и
включенные в цепь синусоидального тока, они
показывают действующее значение последнего.
Замечание 2. При расчете изоляции
проводников необходимо учитывать, что
мгновенное значение синусоидального напряжения
дважды за период превышает в 1,414 раз его
действующее значение, показанное прибором.
Различные представления
синусоидальных величин.
Ранее мы использовали две формы представления
величин, изменяющихся по гармоническому закону:
в аналитическом виде (формулы) и в графическом
виде. Воспользуемся графиками синусоид для
определения третьей формы - вращающегося
вектора.
Найдем углы сдвига фаз всех четырех
графиков относительно "обычной" синусоиды,
проходящей через начало координат (как 1-й
график):
Таким образом, графики представимы
аналитически в двух вариантах:
Назовем график, сдвинутый влево по оси времени
(отрицательный угол сдвига фаз), опережающим,
а сдвинутый вправо - отстающим. У опережающей
синусоиды "все происходит" раньше, в более
ранние моменты времени, левее; у отстающей,
соответственно, наоборот.
Сопоставим каждой синусоиде вращающийся
против часовой стрелки с угловой скоростью  вектор
("зафиксированный" в начальный момент
времени), модуль которого равен амплитудному
значению:
Очевидно, что в любой момент времени ордината
стрелки вектора будет равной ординате
соответствующей точки синусоиды. А, значит,
вектор (его модуль и начальный угол) однозначно
задает некоторую синусоиду.
В электротехнике результирующие параметры
электрических цепей синусоидального тока часто
представляются в виде сумм синусоидальных
величин (общий ток, суммарное напряжение и т. п.) в
силу законов сохранения заряда и энергии.
Нахождение таких сумм в аналитической или
графической (временные диаграммы-графики) формах
затруднительно. Зато в векторной форме такая
сумма отыщется легко и наглядно.
Замечание. На векторных диаграммах
модули векторов равны не амплитудным, а
действующим значениям (по условию).
Найдем, например, сумму приведенных выше
четырех синусоид.
За этим графиком "стоит" непростое
выражение:
Найти же векторную сумму весьма просто. В
особенности, если представить все векторы в виде
суммы их горизонтальной и вертикальной
составляющих. Сложив отдельно горизонтальные и
отдельно вертикальные составляющие, мы получим
соответствующие составляющие результирующего
вектора, определим начальный угол и длину как в
прямоугольном трехугольнике:
Теперь получаем график, идентичный
приведенному выше:
Определение параметров цепей
переменного синусоидального тока.
Задача расчета электрических цепей состоит в
определении мгновенных значений токов и
напряжений (по закону Ома), мощностей (закон
Джоуля-Ленца), средних и действующих значений
вышеуказанных величин, а также углов сдвига фаз
между токами и напряжениями.
Рассмотрим порядок расчета отдельно для
резистивного, индуктивного и емкостного
элементов цепей переменного синусоидального
тока.
Резистивный элемент в цепи
синусоидального тока.
Определим положительное направление
синусоидального тока через резистор с
постоянным сопротивлением R совпадающим с
положительным направлением синусоидального
напряжения, приложенного к резистору:
Мгновенные значения силы тока и напряжения
связаны законом Ома так же, как амплитудные и
действующие значения, при этом мгновенные
значения тока и напряжения совпадают по фазе:
Найдем мгновенное значение мощности и среднюю
за период мощность на резисторе:
Здесь  - величина,
обратная сопротивлению, проводимость резистора.
Как видим, средняя мощность равна максимальной
мгновенной мощности.
Построим графики мгновенных значений тока,
напряжения и мощности, а также покажем на нем
величину средней мощности:
Представим найденные параметры на векторной
диаграмме (напомним, что модули векторов,
представляющих синусоиды мгновенных значений,
равны действующим значениям этих величин):
Мгновенная мощность на резистивном элементе
положительна в любой момент времени: на
резисторе постоянно происходит необратимое
рассеивание энергии электрического поля
источника питания, превращение ее в другие виды
энергии. Поэтому среднюю мощность Р на резисторе
называют еще и активной мощностью. Найдем
энергию, затраченную источником на прохождение
электрического тока через резистор за период
(геометрически она численно равна площади под
графиком мгновенной мощности):
Построим график причинно-следственной связи
между напряжением на резисторе и током через
него - вольт-амперную характеристику (ВАХ).
Для этого по оси абсцисс будем откладывать
изменение напряжения, а по оси ординат -
соответствующие изменения тока. Иными словами,
зададим ВАХ резистора параметрически - через
параметр t:
Мы видим на графике знакомую с 8-го класса
линейную (омическую) зависимость - закон Ома для
резисторного элемента. Все дело в отсутствии
сдвига по фазе между током и напряжением: на
временных диаграммах напряжение и ток
изменяются одновременно и в одном направлении, а
на ВАХ общая точка совершает колебательное
движение по графику (сначала вправо-вверх от
нуля, затем наоборот и т. д.).
Рассмотрим электронную модель в Electronics Workbench 4.0:
схему для вывода на электронный осциллограф
сигнала, равного (или прямопропорционального)
напряжению на резисторе, и второго сигнала -
напряжения, численно равного или
прямопропорционального силе тока через
резистор. Такая схема (устройство) называется
характериограф. Напряжение, численно равное
току, получим со вспомогательного резистора,
включенного в схему последовательно с
исследуемым элементом (в нашем случае
сопротивление такого резистора равно 1 Ом):
В режиме Y/T работы осциллографа получаем
временные диаграммы: на канал А снимается
синусоидальное напряжение частотой 10 Гц,
поданное с функционального генератора на
исследуемый резистивный элемент сопротивлением
1,5 Ом, а на канал В - напряжение, под которым
находится не заземленный конец
вспомогательного резистора сопротивлением 1 Ом.
В режиме В/А происходит колебание электронного
луча согласно сигналу канала В по вертикали
и, одновременно, согласно сигналу канала А - по
горизонтали:
Наконец, временные и фазовая диаграммы в режиме
увеличени (Zoom):
Индуктивный элемент в цепи
синусоидального тока.
Напряжение на индуктивном элементе численно
равно работе электрического поля источника
питания против ЭДС самоиндукции по переносу +1 Кл:
Как видим, напряжение на индуктивном элементе
опережает ток на четверть периода.
Физическая величина, численно равная работе
против ЭДС самоиндукции по переносу +1 Кл при силе
тока 1А, 
называется индуктивным сопротивлением.
Обратная ей величина называется индуктивной
проводимостью: bL = 1/xL.
Мощность на индуктивном элементе ведет себя
как синус удвоенной частоты, а средняя за период
мощность равна нулю:
Поэтому интенсивность энергетических
процессов при изменении магнитного потока на
индуктивном элементе характеризуют реактивной
мощностью, равной максимальной мгновенной
мощности:
Построим графики мгновенный значений
параметров индуктивного участка цепи
синусоидального тока:
Представим полученные параметры на векторной
диаграмме:
За четверть периода, к моменту, когда сила тока
возросла до максимума, накопленная энергия
магнитного поля индуктивного элемента, численно
равная площади под графиком мгновенной мощности
за положительную четверть периода, равна:
Такая формула для энергии магнитного поля была
уже нами получена в курсе электродинамики.
Представим фазовую диаграмму (ВАХ)
индуктивного элемента:
В начальный момент времени, как это видно на
временных диаграммах, сила тока равна нулю, а
напряжение максимально и положительно: точка
состояния индуктивного элемента на ВАХ
находится в правом крайнем положении. Далее с
течением времени она, очевидно, перемещается по
фазовой характеристике против часовой стрелки.
Временные и фазовая диаграммы в схеме
характериографа на электронной модели
индуктивного элемента:
Емкостный элемент в цепи
синусоидального тока.
Напряжение на конденсаторе
прямопропорционально накопленному заряду,
который изменяется как площадь под графиком
зависимости силы тока от времени - как
неопределенный интеграл от емкостного тока, при
этом емкостной ток опережает напряжение на
четверть периода:
Здесь xC - емкостное сопротивление и bC -
емкостная проводимость. Емкостное
сопротивление численно равно работе
электрического поля источника питания против
кулоновского поля заряженных обкладок
конденсатора при токе 1 А.
Мгновенная мощность на емкостном элементе
изменяется как синус удвоенной частоты со знаком
минус (в противофазе с мощностью на индуктивном
элементе). Следовательно, средняя за период
мощность равна нулю, а в качестве энергетической
меры процесса зарядки - разрядки конденсатора
принимается максимальное мгновенное значение:
Построим графики полученных параметров
емкостного учаска цепи:
Представим их также в форме векторной
диаграммы:
За положительную четверть периода энергия
электрического поля накопленного заряда
(геометрически она представляется как площадь
под графиком мощности) равна:
Результат хорошо известен из курса
электродинамики.
Построим фазовую диаграмму для емкостного
элемента в цепи синусоидального тока:
В начальный момент времени (см. временные
диаграммы) сила тока равна нулю, напряжение
отрицательно и максимально по модулю: точка
состояния емкостного элемента - в крайнем левом
положении. С течением времени она перемещается
по ВАХ по часовой стрелке.
Наконец, временные и фазовая диаграммы в
электронной модели:
Еще раз об энергетических процессах в
реактивных элементах.
Рассмотрим приведенные на одном графике
мгновенные значения тока и мощности
индуктивного элемента (сплошные графики) и напряжения
и мощности емкостного элемента (пунктирные
графики):
Как можно заметить, мгновенная мощность на
индуктивном элементе положительна (идет
нарастание магнитного потока и энергии
магнитного поля индуктивности) при нарастании
по абсолютному значению тока через элемент
независимо от его направления. При уменьшении
тока (по абсолютной величине) ЭДС самоиндукции
меняет знак (по полю источника), и ее работа по
поддержанию уменьшающегося тока происходит за
счет накопленной в предыдущую четверть периода
энергии магнитного поля, за счет уменьшения
этой энергии, - мощность отрицательна, она отдается
источнику питания.
Мгновенная мощность на емкостном элементе положительна
(идет нарастание заряда и энергии электрического
поля емкости) при нарастании по абсолютному
значению напряжения на элементе независимо от
его знака. При уменьшении напряжения (по
абсолютной величине) кулоновское поле
заряженного конденсатора создает ток разрядки и
его работа совершается за счет энергии
электрического поля, за счет уменьшения этой
энергии, - мощность отрицательна, она отдается
источнику питания.
Противофазность энергетических процессов
означает возможность "взаимоподдержки"
энергии магнитного поля индуктивности и энергии
элетрического поля емкости: рост("зарядка")
одной совпадает во времени с уменьшением
("разрядкой") другой и наоборот.
Как видно на графиках, амплитуды мгновенных
значений мощностей одинаковы. Очевидно, что при
том же значении силы тока (напряжения) такое
равенство обеспечивается равенством
индуктивного и емкостного сопротивлений
(проводимостей). Такой специальный режим, в
котором индуктивность и емкость полностью
покрывают за счет друг друга свои энергетические
затраты называется резонансным. Найдем резонансную
частоту, на которой соблюдается условие
равенства сопротивлений:
Полученное выражение называется формула
Томсона.
В резонансе, очевидно, в любой момент времени
суммарная индуктивная и емкостная мощность
равна нулю, и электрическая цепь ведет себя как
чисто активная, резистивная.
Последовательное соединение
резистивного, индуктивного и емкостного
элементов синусоидальной цепи.
Согласно закону сохранения электрического
заряда, мгновенное значение тока одинаково для
всех элементов последовательного участка цепи.
Для действующих значений запишем:
Согласно закону сохранения энергии, величина,
численно равная полной работе поля источника над
+1 Кл во всей цепи, напряжение питания, равна сумме
таких же величин, напряжений, на элементах цепи.
Речь идет о сумме значений синусоид в любой
момент времени или векторной сумме
представляющих эти синусоиды векторов
напряжений:
Замечание. Условимся всегда
измерять угол  (I,U)
от вектора тока к вектору напряжения для
единого понимания знака угла (положительный -
против часовой стрелки).
С учетом закона Ома для последовательно
соединенных элементов цепи имеем:
Z называется полное сопротивление (импеданс).
Векторы сопротивлений представляют синусоиды
напряжений с амплитудами, в I раз уменьшенными,
они численно равны работе над +1 Кл при силе тока в
1 А на каждом из элементов цепи, иначе говоря,
сопротивления представляют собой энергетические
процессы на элементах: необратимое рассеяние
энергии источника питания на резисторе и
обратимые превращения энергии источника в
энергию магнитного и электрического полей,
соответственно, индуктивности и емкости.
В этом смысле можно построить и диаграмму
сопротивлений:
Очевидно, она геометрически подобна диаграмме
напряжений. Определим по ней угол сдвига фаз
между током и напряжением:
По закону Ома найдем ток в цепи:
Теперь легко найти напряжения на каждом
элементе (их действующие значения, равные
модулям векторов):
Между прочим, синусоиды мгновенных значений
мощностей имеют сдвиги фаз между собой на
четверти своего периода (меньшего в два раза
периодов колебания тока и напряжения) точно так
же, как и временные диаграммы токов и напряжений.
Модули векторов, представляющих синусоиды
мощностей, в I раз больше длин векторов
напряжений:
Определим по диаграмме полную мощность S и
ее активную P и реактивную Q составляющие
(размерность полной мощности: [S] = BA; активной: [P] =
Вт; реактивных: [Q] = вар - "вольт-амперы
реактивные"):
Пример 1. Пусть U = 10/ 2 В, R = 8 Ом, xL = 6 Ом, xC = 12 Ом.
Построим векторную диаграмму сопротивлений
(геометрически подобные ей - диаграммы
напряжений и мощностей):
Определим полное сопротивление, угол сдвига
фаз между током и напряжением, все напряжения
и мощности:
Характер цепи в нашем примере - активно-емкостный:
эквивалентная ей цепь состоит из резистора с
сопротивлением 8 Ом и емкости с сопротивлением,
равным 12 Ом - 6 Ом = 6 Ом. При том же напряжении
питания мы, очевидно, получим тот же угол сдвига
фаз между током и напряжением, те же силу тока и
мощности. В нашем примере влияние индуктивности
полностью компенсировано противофазным
энергетическим процессом в емкости.
Пример 2. Для частоты 10 Гц найдем
индуктивность и емкость из примера 1 и проверим
результаты математической модели на модели
электронной:
На осциллограмме фазовой вольт-амперной
характеристики виден ход точки состояния схемы: по
часовой стрелке, что свидетельствует об
активно-емкостном характере цепи.
Угол сдвига фаз в схеме по модулю меньше 90°, что
сказалось на ориентации осей симметрии
эллиптической ВАХ. Легко догадаться, что с
уменьшением (xL-xC) полное
сопротивление Z стремится к R, а эллипс
вырождается в отрезок прямой - омическую ВАХ
резистивного элемента.
Получив такой эллипс в схеме характериографа,
можно определить угол сдвига фаз, а также
активную и реактивную составляющие полного
сопротивления. Покажем, например, порядок
определения модуля синуса угла сдвига фаз
между током и напряжением для нашего примера. А
уже по виду временных диаграмм (либо по
направлению "закрутки" ВАХ) определяем знак
угла: "+" для активно-индуктивной цепи
(синусоида напряжения сдвинута влево
относительно синусоиды тока; точка состояния
движется против часовой стрелки) и знак "-"
для активно-емкостной, как в рассмотренном
случае.
Пример 3. Определение модуля синуса угла
сдвига фаз по ВАХ.
Как видно из рисунка, для точек пересечения
вертикальных линий 1 и 2 с осциллограммой
определяются моменты времени Т1 и Т2, значения
напряжений сигналов на каналах А и В, а также
разности этих величин, например, Т2-Т1. В данном
случае cd=Т2-Т1=19,9606 с. В предыдущем замере разности
моментов времени для точек a и b она составила:
ab=11,9762 с. Отношение ab к cd и дает величину модуля
синуса угла сдвига фаз:
Очевидно, что для чисто активной цепи ab=0, cd=0,
ab-cd=0.
Пример 4. Резонанс напряжений.
Учтя зависимость реактивных сопротивлений от
частоты, построим резонансные кривые или частотные
характеристики параметров рассматриваемой
цепи (на частоте fрез=f0
выполняется условие резонансного режима -
равенство индуктивного и емкостного
сопротивлений, а следовательно напряжений и
мощностей на реактивных элементах):
Как видим, слева от резонансной частоты
превалирует емкостная составляющая полного
сопротивления цепи; разность индуктивного и
емкостного сопротивлений, а значит и знак угла
сдвига фаз между током и напряжением,
отрицательна (ток опережает напряжение). Цепь
носит активно-емкостный характер. Справа от
резонансной частоты - активно-индуктивный
характер.
На резонансной частоте полное сопротивление
цепи минимально и равно активному сопротивлению.
Угол сдвига фаз между током и напряжением равен
нулю: цепь ведет себя как чисто активная
(индуктивность и емкость полностью обеспечивают
друг друга энергией).
Найдя по закону Ома зависимость силы тока от
частоты, построим резонансные кривые для
напряжений на элементах цепи:
Заметим, что, во-первых, слева и справа от
резонансной частоты, а также на ней, напряжения
на емкости и на индуктивности превышают
напряжение питания цепи по причине больших
накопленных при включении питания энергий
электрического поля конденстатора и магнитного
поля индуктивности; роль источника питания здесь
- лишь в компенсации необратимых потерь энергии
на резисторе (точно так же при малом трении
относительно слабыми толчками на резонансной
частоте поддерживаются значительные
колебания потенциальной и кинетической энергии
на качелях, например).
Во-вторых, частоты максимумов напряжений на
реактивных элементах не совпадают с резонансной.
Введем понятие добротности для
рассматриваемой цепи: она равна отношению
резонансного значения реактивных сопротивлений
к активному и характеризует соотношение
обратимых и необратимых, требующих поддержки
источником питания, затрат энергии:
Можно показать, что напряжение на емкости
максимально на частоте
а частота максимального напряжения на
индуктивности равна
Очевидно, увеличение добротности (уменьшение
активного сопротивления) "сближает" пики
напряжений на реактивных элементах (при R=0
частоты пиков просто совпадают с резонансной
частотой). Уменьшим для сравнения величину
активного сопротивления с 8 Ом до 2 Ом:
В-третьих, возможно значительное (многократное,
как это видно из последних графиков) превышение
напряжения на реактивных элементах над
напряжением питания цепи, что может привести к
аварии электрического устройства (даже при
нормальных условиях эксплуатации обычно
обеспечивается трехкратный "запас
прочности" конденсаторов по перенапряжению).
И, в-четвертых, минимальное полное
сопротивление и максимальная сила тока на
резонансной частоте используются в технике для
настройки на нужную частоту.
Далее, построим частотные характеристики для
мощностей:
Как видим, на резонансной частоте полная
мощность максимальна и равна чисто активной
мощности:
Пример 5. Приведем результаты измерений
на электронной модели по схеме примера 3
напряжений на элементах цепи и силы тока слева,
справа и в резонансе, а также полученные ВАХ.
Так как частота 14 Гц меньше резонансной, равной
14,142 Гц, цепь на этой частоте оказалась
"чуть-чуть" емкостной (разность напряжений
на индуктивности и емкости не равно нулю и
отрицательно).
Теперь рассмотрим ВАХ для этих частот:
Замечание 1. Чтобы найти параметры
заданной цепи для любой частоты достаточно в
формулах частотных характеристик подставить
нужную частоту, а также нанести риску на графиках
резонансных кривых (либо скорректировать
частоту для электронной модели).
Замечание 2. Можно использовать векторную
форму записи для полного сопротивления
(вектор-столбец, где первая компонента равна
активному сопротивлению, а вторая - сумме
реактивных составляющих):
и т. д.
Замечание 3. Можно также, как это принято
в вузе, использовать символическую форму
представления вектора в виде комплексного числа
в составе двух компонентов - действительной
части (отражающей активное сопротивление) - горизонтальной
компоненты вектора и мнимой части
(отражающей реактивную составляющую
сопротивления) - вертикальной компоненты
вектора:
Здесь i отмечает вертикальную
компоненту вектора и называется "мнимая
единица", Re(z) - действительная составляющая
комплексного числа z (активное сопротивление), Im(z)
- мнимая составляющая z (разность индуктивного и
емкостного сопротивлений). Свойство мнимой
единицы по определению:
Найдем вектор тока в нашей задаче:
Здесь угол от
вектора напряжения к вектору тока, так как
напряжение задано действительным числом, т. е.
его вектор горизонтален:
Параллельное соединение
последовательных участков.
Пусть два участка из соединенных
последовательно резистивных, индуктивных и
емкостных элементов включены параллельно под
общее для обоих напряжение источника питания:
Согласно закону сохранения электрического
заряда, полный ток в цепи должен равняться сумме
токов в ветвях для каждого момента времени. Так
как синусоиды токов представимы в форме
векторов, то речь идет о векторной сумме:
Или, согласно закону Ома:
Здесь Z - полное сопротивление всей цепи, Z1 и Z2 - полные сопротивления
ветвей; Y - полная проводимость всей цепи
(адмиттанс), Y 1 и Y 2 -
полные проводимости ветвей.
Задача состоит в том, чтобы в каждой ветви
перейти от векторной диаграммы сопротивлений (относительно
общего тока для всех элементов ветви) к
векторной диаграмме проводимостей
(относительно напряжения, под которое включены
ветви). Найдя проводимость каждой ветви, мы
найдем их векторную суммы для всей цепи. Затем,
как выше, определим токи.
Векторы сопротивлений коллинеарны
напряжениям, зато векторы проводимостей
коллинеарны токам, как это видно из приведенных
формул. Следовательно, от системы координат,
связанной с общим для элементов ветви током,
требуется перейти к системе координат, связанной
с общим для ветвей напряжением.
Переход от общего тока к полному напряжению
ветви требует, во-первых, поворота системы
координат на угол между током и напряжением и, во-вторых,
отражения (поворота на 180°) относительно
горизонтальной оси напряжения, так как теперь
емкостная составляющая проводимости вместе с
емкостным током опережает напряжение (в прежней
системе координат емкостное сопротивление
вместе с напряжением на емкости отставало от
тока) и, наоборот, индуктивная составляющая
проводимости вместе с индуктивным током отстает
от напряжения (тогда как индуктивное
сопротивление вместе с напряжением на
индуктивности опережало ток). Для примера
рассмотрим активно-емкостную вторую ветвь (xC2 > xL2) :
Поворот на 180° относительно горизонтальной оси
учитывается знаком минус в формуле
вертикальной составляющей bC2 полной
проводимости Y2, как на рисунке.
Учитывая, что модуль вектора полной
проводимости есть величина, обратная модулю
вектора полного сопротивления ветви, получим
формулы преобразования системы координат или
формулы перехода от сопротивлений к
проводимостям:
Замечание 1. Очевидно, что активная
проводимость g1 = 1/R1
только в том частном случае, когда ( xL1
- xC1 ) = 0 и b1 = 1/( xL1
- xC1 ) только в том частном случае,
когда R1 = 0.
Замечание 2. Обратите внимание на знак
минус в формуле угла сдвига фаз: здесь учтено, что
направление отсчета угла по-прежнему от
вектора тока (проводимости) к вектору напряжения,
а не от горизонтальной оси напряжения в системе
координат.
Точно такая же группа формул получается для
второй ветви:
Полная проводимость и ее составляющие для всей
цепи равны:
Токи в ветвях, полный ток в цепи, а также
активные и реактивные составляющие токов равны
произведению напряжений на соответствующие
проводимости:
Мощности, соответственно, равны произведениям
квадрата напряжения на проводимости:
Пример 1. Рассчитаем указанную выше
схему из параллельно включенных ветвей. Построим
три варианта векторной диаграммы проводимостей.
Три варианта векторных диаграмм отражают три
способа нахождения векторной суммы
проводимостей:
Диаграммы для токов и мощностей геометрически
подобны диаграммам проводимостей: длины
векторов отличаются, соответственно, в U и U раз.
Найдем токи, мощности и их составляющие для
ветвей и всей цепи:
Пример 2. Получим аналогичные
результаты в электронной модели цепи, рассчитав
предварительно для частоты 50 Гц величины
емкостей и индуктивностей в обеих ветвях:
Как следует из математической модели цепи, она,
в целом, имеет активно-емкостный характер. Найдем
по ВАХ этой цепи модуль синуса угла сдвига фаз
между полным токои и напряжением:
Пример 3. Рассмотрим расчет параметров
первой ветви с помощью комплексных чисел:
Векторные диаграммы для проводимостей, токов и
мощностей геометрически подобны. Построим в
области комплексных чисел векторную диаграмму
мощностей для первой ветви:
Резонанс токов.
Рассмотрим электрическую цепь, содержащую
параллельно включенные резистор, индуктивность
и емкость:
На резонансной частоте, определяемой для
нашего случая "чистых" индуктивной и
емкостной ветвей по формуле Томсона, емкостная и
индуктивная проводимости уравниваются, и цепь
находится в режиме резонанса токов.
Построим резонансные кривые, или частотные
характеристики, для конкретной цепи:
Графики проводимостей, токов и мощностей
геометрически подобны и отличаются в U и в U раз. Рассмотрим
резонансные кривые для токов:
При резонансе токов полная проводимость цепи
минимальна и равна активной проводимости.
Суммарный реактивный ток равен нулю, при этом
текущие в противофазе индуктивный и емкостный
токи могут значительно превосходить полный ток
из источника питания. Увеличение реактивных
проводимостей в несколько раз увеличивает во
столько же раз реактивные токи, что никак не
сказывается на токе источника - полном токе в
цепи.
При резонансе полный ток является чисто
активным и совпадает по фазе с напряжением.
Стремление активной проводимости к нулю
означает переход к размыканию цепи от источника
питания. В случае идеальных индуктивности и
емкости (без активного сопротивления проводов)
это никак не скажется на колебательном процессе
индуктивного и емкостного токов.
Как видно из графиков, левее резонансной
частоты цепь имеет активно-индуктивный характер
(суммарная реактивная составляющая полного тока отрицательна,
превалирует индуктивный ток, отстающий от
напряжения, угол сдвига фаз между током и
напряжением положителен), в резонансе - чисто
активный и правее резонанса - активно-емкостный
характер.
Проведем электронный эксперимент с такой
цепью.
Левее резонанса бoльше ток индуктивности,
правее - емкости. В резонансе реактивные токи
равны и превышают полный ток, совпадающий с током
через резистор.
Частота 86 Гц чуть меньше резонансной, и на ней
цепь имеет активно- индуктивный характер, как это
хорошо видно по ВАХ:
Замечание 1. Резонанс токов, как и
резонанс напряжений, часто используется в
технике для настройки на нужную частоту.
Замечание 2. В случае большой
индуктивной нагрузки (например, в цехе со
значительным количеством двигателей
переменного тока) цепи питания (генераторы,
трансформаторы) чрезмерно нагружаются
индуктивной составляющей полного тока. Не
уменьшая активной составляющей полного тока, а
значит и активной мощности, можно уменьшить
реактивную составляющую тока, подключив
параллельно нагрузке емкость. При этом, в
частности, увеличивается косинус угла сдвига фаз
между током и напряжением.
Касаткин А.С., Немцов М.В.
Электротехника: Учеб. пособие для вузов. - 4-е изд.,
перераб. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 440 с., ил.
Содержание
Вернуться на страницу
<Методические разработки> |
